La sezione aurea – espressione aritmetica della bellezza

Il libro della natura è scritto coi caratteri della geometria” Galileo Galilei
La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa” Keplero

Φ= 1,6180339887…

Non so quanti abbiano riconosciuto questo numero, ma chi non lo ha riconosciuto sarebbe sorpreso di quanto spesso lo incontra nella vita di tutti i giorni (vi basti pensare che, ad esempio, il rapporto dei lati delle carte di credito è pari a Φ).

É un numero che deriva dalla geometria e che ha affascinato fin dall’antichità non solo i matematici ma anche biologi, artisti, musicisti, storici, architetti, psicologi, perfino mistici.
Questo numero viene chiamato numero aureo ed é associato alla sezione aurea, detta anche, in passato, proporzione divina.
É un numero irrazionale, cioè non si può esprimere con una frazione, e ha infinite cifre decimali senza sequenze ripetitive.
Il numero aureo è il solo numero a possedere l’incredibile peculiarità di avere un quadrato uguale a se stesso più 1, e un reciproco uguale a se stesso meno 1.
Il simbolo che indica questo rapporto era inizialmente la lettera greca «tau» (dal greco tomè, taglio, sezione), sostituita poi con la lettera phi in onore al grande scultore greco Fidia.

Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore.”(Euclide)

Graficamente, la proporzione aurea può essere rappresentata da un segmento diviso in due parti a e b, tali che il rapporto tra l’intero segmento a+b e la parte più lunga a sia uguale al rapporto tra la parte più lunga a e la parte più corta b.
In altre parole, l’intera linea è 1,618034… volte più lunga del segmento più lungo, e il segmento più lungo è 1,618034… più lungo del segmento più corto.

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Altri numeri che hanno uno stretto rapporto con il numero aureo sono:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

É la famosa serie di Fibonacci.
Come si può notare ogni termine della successione è pari alla somma dei due precedenti.
La serie di Fibonacci è dovuta a Leonardo da Pisa, detto appunto Fibonacci, grande matematico del XII secolo, che nel suo famoso Liber abbaci propose l’uso della numerazione araba dando grande impulso alla rinascita degli studi matematici.
Nel 1223 a Pisa, partecipò ad una gara fra matematici indetta dall’imperatore Federico II che propose un singolare quesito: si rinchiude una coppia di conigli in un recinto: quante coppie di conigli si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese, che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi dal secondo mese di vita e che la coppia non muore mai? Con sorpresa di tutti Fibonacci risolse facilmente il quesito, proprio grazie alla sua famosa “serie”: indicando in pochissimo tempo che i conigli sarebbero stati 377!
Keplero nel 1611 scoprì che nella serie di Fibonacci il rapporto tra ogni numero e il suo predecessore tende inesorabilmente al valore del numero aureo (1,618033…).

La denominazione “sezione aurea” é stata utilizzata sicuramente a partire dal diciannovesimo secolo.
Infatti, nel 1835 il matematico tedesco Martin Ohm (fratello di Georg Simon Ohm, quello delle leggi sull’elettricità), in una nota a piè di pagina della 2° edizione dell’opera Die Reine Elementar-Mathematik (La matematica elementare pura), scrisse:

Solitamente, questa divisione di una linea arbitraria in 2 parti cosiffatte è chiamata “sezione aurea.”

Da ciò si può intuire che probabilmente l’inventore di tale denominazione è più antico, ma completamente ignoto.
Risulta invece certo che, dopo la pubblicazione del libro di Ohm, essa cominciò ad apparire piuttosto frequentemente negli scritti in lingua tedesca inerenti alla matematica e alla storia dell’arte.
Altro termine utilizzato per indicare questo numero o rapporto é divina proporzione, come fa Luca Pacioli nel trattato De divina proportione, stampato nel 1509

Ma perché si utilizzano questi termini?

Perché sin dall’antichità questa proporzione é stata considerata quale simbolo dell’Armonia e della Bellezza dell’universo, tanto che Keplero arrivò a ritenere che l’ordine dell’universo fosse basato proprio sulla proporzione divina: “Sono convinto che questa proporzione geometrica servì da idea al Creatore, quando Egli introdusse la generazione continua di forme simili da forme simili tra loro.

Infatti tale proporzione é stata ritenuta lo standard di riferimento per quanto riguarda la bellezza, la grazia e l’armonia.
Ed invero, come studi specifici hanno dimostrato (si vedano in particolare gli studi di Gustav Fechner), sembra che l’occhio umano tragga un innato piacere per qualsiasi forma rispetti, anche se in modo approssimativo, le proporzioni auree.
Pertanto nel corso dei secoli la proporzione aurea divenne per artisti ed architetti il canone di bellezza ed armonia cui ispirarsi nella realizzazione delle loro opere.

Già nella Piramide di Cheope si trovano rapporti tra le parti pari o prossimi al rapporto aureo (in particolare il rapporto tra l’altezza delle facce triangolari e la metà del lato della base quadrata), ma non si sa se ciò sia stato effettivamente voluto.
Nel mondo greco invece il rapporto aureo era conosciuto ed é proprio lì che assunse quel valore di simbolo dell’armonia é della bellezza e quell’alone magico e di mistero che lo ha accompagnato fino a noi.
Infatti la prima definizione di rapporto aureo é proprio quella di Euclide che abbiamo visto sopra e poi furono i pitagorici a rimanere affascinati da questo numero, anche per i rapporti con il pentagramma (o stella a cinque punte in cui ad esempio i lati e le basi dei cinque triangoli che formano le punte sono tra loro in rapporto aureo) e con il pentagono regolare. D’altronde per i pitagorici i numeri erano l’essenza primordiale di tutto l’universo fisico: “tutto è disposto secondo numeri e forme matematiche“.

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il rapporto tra la lunghezza della diagonale BE, che unisce due vertici qualsiasi del pentagono e la lunghezza di un lato AB, ha il valore 1,618  . Se si traccia  una seconda diagonale AD all’interno del pentagono, ogni diagonale sarà divisa in due parti: il rapporto tra la parte maggiore e l’intera diagonale sarà pari a 1,618. Se si tracciano tutte le diagonali del pentagono, esse formeranno una stella a cinque punte, pentagramma.

Nella costruzione del Partenone Fidia e i suoi collaboratori, gli architetti Ictino, Callicrate e Mnesicle, usarono coscientemente e con precisione il rapporto aureo, tanto che, come detto, all’inizio del XX secolo, il matematico americano Mark Barr introdusse l’uso della lettera greca phi (Φ) per indicare il numero aureo proprio in onore di Fidia.

Il Partenone infatti è chiuso in un rettangolo aureo, tale cioè che il lato più lungo diviso per quello più corto è uguale al numero aureo e nella sua struttura sono diverse le sezioni auree che si possono osservare.

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Il rapporto aureo, proprio perché visto come ideale di bellezza e armonia, si ritrova anche in molte sculture della Grecia classica, come ad esempio nel Doriforo di Policleto e nei Bronzi di Riace.

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Il rapporto aureo é stato utilizzato nel tempo anche in molte costruzioni, ad esempio: la Porta del Sole in Bolivia, il Tempio della Concordia ad Agrigento, il Pantheon a Roma, l’arco di Costantino, il Battistero romanico di Pisa, Notre Dame a Parigi, Castel del Monte, il Tempio Malatestiano a Rimini, la Cattedrale di Colonia e in tempi recenti i progetti di Le Corbusier. Quest’ultimo, in particolare, formulò un sistema, denominato Modulor (da Module d’or), basato sul rapporto aureo e sulle proporzioni dell’uomo; esso doveva fornire «alla scala umana una misura di armonia, universalmente applicabile all’architettura e alla meccanica».

Modulor
Il Modulor

Anche nella pittura si è fatto spesso ricorso al rapporto aureo, proprio nella convinzione che il rapporto aureo indichi una proporzione che risulta particolarmente armoniosa.
Già in alcuni dipinti di Giotto (ad esempio la Madonna di Ognissanti) é stato riscontrato l’utilizzo della proporzione aurea e così in molti dipinti di Piero della Francesca, di Botticelli,di Raffaello, di Michelangelo e di altri.

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Ma fu soprattutto Leonardo da Vinci, nella sua doppia veste di artista e scienziato, a studiare ed applicare la sezione aurea.
Nella rappresentazione dell’uomo di Vitruvio, ad esempio, l’ombelico divide in due parti l’uomo, parti che sono in rapporto aureo tra di loro. Ma sono aurei anche il rapporto tra la distanza dal collo del femore al ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba e il rapporto tra la distanza tra gomito e punta del dito medio e la lunghezza dell’intero braccio.

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Inoltre Leonardo utilizzò il rapporto aureo anche nella Gioconda, nell’Ultima Cena, nell’Annunciazione ed illustrò con 60 disegni il trattato “De divina proportione” del matematico Luca Pacioli, che studiava le proprietà del rapporto aureo chiamato per l’appunto proporzione divina.
In tempi più recenti hanno utilizzato il rapporto aureo artisti come Seurat, Sérusier, Salvador Dalì, Juan Gris e Piet Mondrian.

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Non si può dire con sicurezza che tutti questi artisti e architetti abbiano utilizzato coscientemente e intenzionalmente la sezione aurea; infatti, poichè gli uomini tenderebbero naturalmente a preferire le proporzioni auree, in alcuni casi gli artisti potrebbero avere disposto inconsciamente gli elementi delle loro opere in modo da rispettare tali proporzioni. Ma ciò rende ancora più evidente il ruolo della sezione aurea quale standard ideale di bellezza e armonia, dato che gli artisti la utilizzano non solo scientemente ma anche intuitivamente.

Non solo in architettura e pittura, il rapporto aureo ha un ruolo importante anche nella musica.
Innanzitutto il rapporto aureo risulta utilizzato nella costruzione dei violini (in particolare con riferimento all’arco piatto alla base della cassa armonica, spesso centrato sul punto di sezione aurea della linea centrale). I disegni di Antonio Stradivari (1644-1737) sembrano dimostrare che il liutaio cremonese usasse particolare cura nel collocare gli “occhi” dei fori a “effe” (le due aperture della cassa armonica la cui forma ricorda questa lettera) in posizioni determinate geometricamente dal rapporto aureo.
Inoltre il rapporto aureo risulta utilizzato anche nella struttura della musica.
E’ noto il rapporto tra matematica e le composizioni ad esempio di Bach, di Mozart e di Beethoven.
In molte delle loro opere è stato riscontrato l’utilizzo della sezione aurea: per esempio per dividere il movimento musicale delle sonate per pianoforte di Mozart. Altri brani di tali compositori risultano divisi in tre parti fondamentali (esposizione, sviluppo e ripresa), parti che possono a loro volta essere divise in sottoparti e il rapporto tra queste parti risulterebbe ispirato alla sezione aurea.
Studi approfonditi sono stati effettuati su brani di Bela Bartok, dove i cambi maggiore-minore, crescendi e diminuendi risulterebbero organizzati secondo questa proporzione. Rapporti di questo tipo sono stati riscontrati con frequenza anche nei canti gregoriani.
Anche Claude Debussy era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui come le divin nombre nella raccolta Estampes e usata, per esempio, nella composizione dei brani La Mer (1905) e Cathédrale Engloutie.

La sezione aurea viene utilizzata anche nel design e nella grafica: alcuni loghi famosi (National Geographic, Pepsi, Apple, ..) sono stati ideati e creati proprio sulla base di proporzioni auree.

Inoltre il rapporto aureo viene utilizzato anche nel web design, sia con riferimento ai rapporti tra le parti del sito web, sia nella formattazione dei testi ed esistono addirittura applicazioni e siti per progettare siti web, interfacce e layout utilizzando il rapporto aureo.

Come visto, il numero aureo é stato utilizzato in tanti settori, addirittura su di esso e sulla sequenza di Fibonacci si basano molti strumenti di Analisi Tecnica dei mercati finanziari utilizzati per individuare i prezzi obbiettivo e le probabilità di cambiamento dei trend in atto.

Ma ciò che ha incuriosito e affascinato i pensatori di tutte le epoche é che il numero aureo viene ritrovato con sorprendente ricorrenza nel mondo della natura: la disposizione dei petali di una rosa, dei semi nelle mele o nei girasoli, delle foglie su un albero, la forma a spirale di alcune conchiglie (ad esempio il nautilus), le corna del muflone, la coda dell’ippocampo, molte proporzioni del corpo umano, la forma a spirale degli ammassi di galassie …

Invero, nella corolla della rosa gli angoli che definiscono le posizioni dei petali (in frazioni di angolo giro) sono la parte decimale di semplici multipli di phi.
La sezione aurea é stata riscontrata anche nella fillotassi, ossia nella disposizione delle foglie delle piante, che in molti casi si basa sull’angolo aureo di 137°50′, detto angolo di divergenza, che assicura che i germogli non nascano allineati, allo scopo di ricevere la quantità di luce sufficiente per compiere il ciclo vitale.
Il valore dell’angolo di divergenza corrisponde a (1-1/ φ)* 360°
La natura sembra poi amare in modo particolare le spirali logaritmiche.
Parecchie varietà di comuni organismi marini, dal plancton alle lumache al nautilus, presentano spirali auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie e anche la maggior parte delle corna, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla spirale aurea, così come fanno le braccia a spirale della Via Lattea e di molte altre galassie.

Ma cos’é una spirale aurea?
Se all’interno di un rettangolo aureo (un rettangolo cioè in cui il rapporto tra base e altezza é uguale a phi) si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Ripetendo l’operazione per almeno cinque volte si ottiene un effetto visivo adeguato e si può tracciare, con il compasso, una linea curva detta appunto spirale logoritmica o aurea. Una proprietà fondamentale della spirale aurea, che si ritrova solo in questa particolare curva è la seguente: crescendo non cambia forma.

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Questa proprietà si nota anche nella crescita di alcune conchiglie, che, crescendo, non alterano forma e dimensioni.
Il nautilo nella sua conchiglia aumenta in grandezza e si costruisce camere sempre più spaziose, abbandonando e sigillando quelle inutilizzabili perché troppo piccole. Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, cosicchè la forma del guscio resta immutata.

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Per questa sua proprietà di crescita perfettamente armonica, la spirale logaritmica è stata anche chiamata nel corso dei secoli la “curva della vita”.

Si potrebbe continuare ancora per molto ad indicare le opere dell’uomo e della natura dove è possibile riscontrare la sezione aurea, come se ne potrebbe esplorare l’aspetto esoterico, ma quello che interessava e interessa è suscitare in chi legge la curiosità e la meraviglia a proposito della sezione aurea, proprio per il fatto che ricorra così spesso sia in natura che nelle opere dell’uomo. Ci piacerebbe stimolare a guardare la natura, l’arte e il mondo che ci circonda con occhi diversi, pieni di mistero e meraviglia, ricordando le parole di Einstein: «Quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci sia data di vivere. Quindi, chi sa e non prova meraviglia, chi non si stupisce più di niente, chi non cerca in profondità è simile ad un morto, ad una candela che non fa più luce

Per stimolare i più piccoli e per chi è rimasto un po’ bambino nell’animo, ecco un video di Paperino proprio sulla sezione aurea

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